Himpunan Matematika

1.1 Definisi
Himpunan (set) merupakan kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan definisi (syarat) tertentu dan jelas Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).. Adapun objek objek yang ada dalam himpunan tersebut dinamakan unsur atau anggota himpunan. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dan sebagainya. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dan seterusnya.
Sebuah objek dalam suatu himpunan disebut sebagai elemen atau anggota himpunan. Dan suatu himpunan harus memiliki elemen atau anggota himpunan.
Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan notasi  ’∈’. Contoh:
Z = {a, b, c}
a ∈ Z : a merupakan anggota himpunan Z.
k ∉ Z : k bukan merupakan anggota himpunan Z.

1.2 Keanggotaan Himpunan
1.2.1 Penyataan anggota himpunan
Ada 4 cara untuk menyatakan himpunan, yaitu  :

1. Mencacah anggotanya (enumerasi).

Himpunan dinyatakan dengan mendaftarkan semua anggotanya dengan diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:  Himpunan huruf vokal: B = {a, i, u, e, o}.
Himpunan tidak harus menyebutkan anggotanya secara berurutan. Ketika uutan itu dianggap penting, maka struktur yang berbeda akan diperlukan untuk menyatakan urutannya. Inilah yang disebut sebagai ordered n-tupples. Dalam struktur ini jika tertulis (a,b,c,…) maka a akan menjadi elemen pertama, b elemen ke dua, c elemen ketiga dan seterusnya.

1. Menggunakan simbol standar (baku)

Himpunan dapat dinyatakan dalam simbol standar (baku) yang telah diketahui dan disepakati secara umum oleh masyarakat (ilmiah).
Contoh:
N =  himpunan bilangan alami (natural)
Z =  himpunan bilangan bulat
Q =  himpunan bilangan rasional
R =  himpunan bilangan riil
C =  himpunan bilangan kompleks
Namun penulisan dengan cara ini menimbulkan ambigu pada kasus kasus tertentu misalkan dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

1. Menuliskan kriteria syarat keanggotaan himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat/ciri ciri umum) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut :
{ x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh:
(i)  A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}
Atau bisa juga dituliskan
M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

1. Menggunakan Diagram Venn

Suatu himpunan  dapat  dinyatakan  dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn. Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.